Halaman
PUSAT PERBUKUANPUSAT PERBUKUANDepartemen Pendidikan NasionalDepartemen Pendidikan Nasional
iKhazanahMatematika3Rosihan Ari Y.Indriyastutiuntuk Kelas XII SMA dan MAProgram Bahasa
iiPenulis: Rosihan Ari Y.IndriyastutiPerancang kulit: Agung WibawantoPerancang tata letak isi : Agung WibawantoPenata letak isi: BonawanIlustrator: KusdirgoUkuran buku: 17,6 x 25 cmKhazanahMatematikauntuk Kelas XII SMA dan MAProgramBahasa 3Hak Cipta Pada Departemen Pendidikan NasionalDilindungi Undang-undangHak Cipta Buku ini dibeli oleh Departemen Pendidikan Nasionaldari Penerbit Wangsa Jatra Lestari, PTDiterbitkan oleh Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan NasionalTahun 2009Diperbanyak oleh ....510.07 ROS ROSIHAN Ari Y k Khazanah Matematika 3 : untuk Kelas XII SMA / MA Program Bahasa / penulis, Rosihan Ari Y, Indriyastuti ; ilustrator, Kusdirgo. . -- Jakarta : Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, 2009. vi, 186 hlm, : ilus. ; 25 cm Bibliografi : hlm. 173-174 Indeks ISBN 978-979-068-858-2 (No. Jil Lengkap)ISBN 978-979-068-863-61. Matematika-Studi dan PengajaranI. JudulII. Indriyastuti III. Kusdirgo
iiiSambutaniiiPuji syukur kami panjatkan ke hadirat Allah SWT, berkat rahmat dan karunia-Nya, Pemerintah, dalam hal ini, Departemen Pendidikan Nasional, pada tahun 2009, telah membeli hak cipta buku teks pelajaran ini dari penulis/penerbit untuk disebarluas-kan kepada masyarakat melalui situs internet (website) Jaringan Pendidikan Nasional.Buku teks pelajaran ini telah dinilai oleh Badan Standar Nasional Pendidikan dan telah ditetapkan sebagai buku teks pelajaran yang memenuhi syarat kelayakan untuk digunakan dalam proses pembelajaran melalui Peraturan Menteri Pendidi-kan Nasional Nomor 81 Tahun 2008 Tanggal 11 Desember 2008.Kami menyampaikan penghargaan yang setinggi-tingginya kepada para penulis/penerbit yang telah berkenan mengalihkan hak cipta karyanya kepada Departemen Pendidikan Nasional untuk digunakan secara luas oleh para siswa dan guru di seluruh Indonesia.Buku-buku teks pelajaran yang telah dialihkan hak ciptanya kepada Departemen Pendidikan Nasional ini, dapat diunduh (down load), digandakan, dicetak, dialihmediakan, atau difotokopi oleh masyarakat. Namun, untuk penggandaan yang bersifat komersial harga penjualannya harus memenuhi keten-tuan yang ditetapkan oleh Pemerintah. Diharapkan bahwa buku teks pelajaran ini akan lebih mudah diakses sehingga siswa dan guru di seluruh Indonesia maupun sekolah Indonesia yang berada di luar negeri dapat memanfaatkan sumber belajar ini.Kami berharap, semua pihak dapat mendukung kebijakan ini. Kepada para siswa kami ucapkan selamat belajar dan man-faatkanlah buku ini sebaik-baiknya. Kami menyadari bahwa buku ini masih perlu ditingkatkan mutunya. Oleh karena itu, saran dan kritik sangat kami harapkan. Jakarta, Juni 2009 Kepala Pusat Perbukuan
PrakataPenulis mengucapkan selamat kepada kalian yang telah naikke kelas XII Program Bahasa. Tentu kalian sangat bangga. Semogakalian terpacu untuk lebih semangat lagi dalam belajar. Teruslahrajin belajar, gigih, pantang menyerah, dan jangan lupa berdoakepada Tuhan agar cita-cita kalian tercapai. Ingat, sebentar lagikalian akan menghadapi ujian nasional. Apalagi bagi kalian yangakan melanjutkan ke jenjang pendidikan yang lebih tinggi. Kalianakan menghadapi ujian yang diadakan perguruan tinggi tersebut.Kalian harus lebih giat lagi dalam belajar sehingga menjadi orangyang sukses dan membanggakan.Buku Khazanah Matematika ini akan membantu kalian dalammempelajari matematika. Buku ini disusun dengan urutanpenyajian sedemikian rupa sehingga kalian akan merasa senanguntuk mendalaminya. Buku ini akan membantu kalian dalambelajar. Dalam pembelajarannya, buku ini menuntut kalian untukaktif dan bertindak sebagai subjek pembelajaran. Kalian dituntutuntuk mengobservasi, mengonstruksi, mengeksplorasi, danmenemukan sendiri konsep-konsep matematika sehingga kalianakan menjadi orang yang dapat berpikir kritis, kreatif, dan inovatif.Di kelas XII Program Bahasa ini, kalian akan mempelajarimateri-materi berikut:ĆProgram LinearĆMatriksĆBarisan dan DeretPenulis berharap semoga buku ini dapat membantu kaliandalam mempelajari konsep-konsep matematika. Akhirnya,semoga kalian sukses.Solo, Februari 2008Penulis
Daftar IsiPrakata iiiSambutan iiiDaftar Isi ivBab IProgram LinearA. Sistem Pertidaksamaan Linear 3B. Nilai Optimum Suatu Fungsi Objektif13Rangkuman 22Tes Kemampuan Bab I 23Semester 1Bab IIMatriksA. Pengertian, Notasi, dan Ordo Matriks31B. Kesamaan Dua Matriks 40C. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks43D. Perkalian Suatu Skalar dengan Matriks50E. Perkalian Matriks 55F.Invers Suatu Matriks 62G. Penyelesaian Sistem Persamaan Lineardengan Matriks 78Rangkuman 88Tes Kemampuan Bab II 89Latihan Ulangan Umum Semester 1 95v
viBab IIIBarisan dan DeretA. Barisan dan Deret 103B. Barisan dan Deret Aritmetika 107C. Barisan dan Deret Geometri 117D. Penerapan Konsep Barisan danDeret 132E. Notasi Sigma 136F. Deret dalam Hitung Keuangan(Pengayaan) 145Rangkuman 161Tes Kemampuan Bab III 162Latihan Ujian Nasional 167Semester 2Daftar Pustaka173Lampiran175Glosarium183Indeks Subjek185Kunci Soal-Soal Terpilih186
1Program LinearProgram LinearIBabTujuan PembelajaranSetelah mempelajari babini, diharapkan kalian dapat1. menjelaskan sistempertidaksamaan lineardua variabel dan pe-nyelesaiannya;2. menentukan fungsitujuan (fungsi objektif)beserta kendala yangharus dipenuhi dalammasalah program linear;3. menggambarkan ken-dala sebagai daerahpada bidang yang me-menuhi sistem per-tidaksamaan linear;4. menentukan nilai op-timum dari fungsi tujuansebagai penyelesaiandari program linear;5. menafsirkan nilai opti-mum yang diperolehsebagai penyelesaianmasalah program linear.MotivasiPara pedagang atau pengusaha tentu ingin memperolehkeuntungan maksimum. Sebelum melakukan transaksi ataupunpengambilan keputusan dalam usahanya, mereka pasti membuatperhitungan yang matang tentang langkah apa yang harusdilakukan. Oleh karena itu, diperlukan metode yang tepat dalampengambilan keputusan pedagang atau pengusaha tersebut untukmemperoleh keuntungan maksimum dan meminimumkankerugian yang mungkin terjadi.Sumber:Dokumen Penerbit
2Khaz Matematika SMA 3 BhsmembahasProgram LinearPertidaksamaan Linear• bahasa matematika• model matematika• pertidaksamaan linear• garis selidik• nilai objektif• pertidaksamaan• kendala• optimasi• program linear• maksimum• optimum• sistem pertidaksamaan• minimum• pembatas• uji titik sudutMetodeGaris SelidikUji Titik SudutSistemPertidaksamaan LinearBahasaSehari-hariModelMatematikaNilaiOptimumditerjemahkandalamditentukanmelaluiKata KunciPeta Konsep
3Program LinearPada pokok bahasan kali ini, kita akan membahas suatumetode untuk mengoptimalkan (memaksimumkan/memini-mumkan) keuntungan atau biaya, yaitu program linear. Programlinear banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari, misalnyadalam bidang ekonomi, perdagangan, dan pertanian.Untuk mempelajari program linear, mari kita ingat kembalitentang cara menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaanlinear dua variabel.Sebelum kalian mempelajari lebih jauh tentang materi ini,untuk mengingatkan kalian tentang persamaan danpertidaksamaan linear, jawablah pertanyaan berikut.Setelah mempelajari bab ini, diharapkan kalian dapatmerumuskan masalah nyata ke dalam model matematika sistempertidaksamaan linear, menyelesaikan, dan menafsirkan hasilyang diperoleh.A. Sistem Pertidaksamaan Linear1. Menyelesaikan Sistem Pertidaksamaan Linear Dua VariabelPada pembahasan kali ini, kita akan menentukan penyelesaiansistem pertidaksamaan linear dengan dua variabel menggunakanmetode grafik. Metode grafik dimaksudkan untuk melihat secaravisual gambaran tentang daerah penyelesaian dari pertidaksamaanlinear yang berbentuk aljabar. Karena secara umum grafikpertidaksamaan linear seperti ax + by * c, ax + by > c, ax + by < c,dan ax + by ) c berupa daerah yang dibatasi oleh garis ax + by = cmaka langkah-langkah dalam mengambar grafik pertidaksamaanlinear adalah:a.menggambar grafik garis ax + by = c sebagai batas daerah-nya;b.menyelidiki daerah penyelesaian yang dimaksud apakahberada di sebelah kiri, sebelah kanan, di atas, atau di bawahgaris batas yang telah dilukis.PrasyaratKerjakan di bukutugas1.Apa yang kalian ketahui tentang persamaan linear, sistempersamaan linear, pertidaksamaan linear, dan sistempertidaksamaan linear?2.Gambarlah grafik fungsi 2x + 3y = 6. Kemudian arsirlahhimpunan penyelesaian dari 2x +3y* 6.
4Khaz Matematika SMA 3 Bhsx0...y...0(x, y)(0, ...)(..., 0)Suatu hal yang harus diingat dalam menggambar grafiksebuah garis adalah menentukan dua titik sembarang pada garisitu kemudian menghubungkannya dengan sebuah garis lurus,sedangkan dua titik sembarang yang mudah perhitungannyaadalah titik potong garis ax + by = c dengan sumbu X dan titikpotong garis dengan sumbu Y. Titik potong dengan sumbu Xmempunyai bentuk (..., 0), yakni dicapai saat nilai y = 0, dantitik potong dengan sumbu Y mempunyai bentuk (0, ...), yaknidicapai saat nilai x = 0.Dari alasan-alasan di atas maka untuk menggambar daerahpenyelesaian pertidaksamaan linear adalah sebagai berikut.a.Gambarlah grafik garis lurus pembatasnya dengan mengisiformat berikut.b.Menyelidiki daerah yang merupakan penyelesaian denganmengambil salah satu titik yang mudah, yaitu (0, 0).Perhatikan contoh-contoh berikut.Contoh 1:Gambarlah daerah himpunan penyelesaian linear berikut padabidang Cartesius.a.3x + 2y* 6, dengan x, y D Rb.2x + y > – 4, dengan x, y D RJawab:a.3x + 2y* 6, dengan x, y D RUntuk menentukan daerah penyelesaian pertidaksamaanlinear di atas, langkah-langkah pengerjaannya adalahsebagai berikut.1) Menggambar grafik garis lurus pembatasnyaa)Titik potong dengan sumbu X, berarti y = 0. Kita ubahpertidaksamaan menjadi persamaan 3x + 2y = 6sehingga 3x + 2(0) = 6 3x = 6 x = 2.Jadi, titik potong grafik dengan sumbu X adalah(2, 0).b) Titik potong dengan sumbu Y, berarti x = 0. Kita ubahpersamaan menjadi3x + 2y = 6 3(0) + 2y = 6 2y = 6 y = 3.Jadi, koordinat titik potong grafik dengan sumbu Yadalah (0, 3).PerhatianPada buku ini, kita tetapkanbahwa daerah himpunanpenyelesaian pertidaksama-an adalah daerah yangdiarsir, sedangkan daerahyang tidak diarsir bukandaerah penyelesaian pertidak-samaan.
5Program LinearHal tersebut dapat disajikan dengan tabel berikut.Grafik 3x + 2y = 6 dapat diperoleh dengan membuatgaris yang menghubungkan koordinat (0, 3) dan(2, 0) seperti pada Gambar 1.1 (a).2) Menyelidiki daerah penyelesaianGambar 1.1 (a) merupakan grafik himpunanpenyelesaian untuk persamaan 3x + 2y = 6. Tampakbahwa garis 3x + 2y = 6 membagi bidang Cartesiusmenjadi dua daerah, yaitu atas (kanan) garis danbawah (kiri) garis. Untuk menentukan daerahhimpunan penyelesaian 3x + 2y* 6, ambil sembarangtitik, misalnya (0, 0) dan substitusikan ke dalampertidaksamaan linear 3x + 2y* 6 sehingga diperoleh3(0) + 2(0) * 6 0 * 6 (pernyataan salah)Karena titik (0, 0) terletak di bawah (kiri) garis dansetelah kita substitusikan ke pertidaksamaan itu,diperoleh pernyataan yang salah maka titik (0, 0) tidakberada pada daerah penyelesaian. Jadi, daerahpenyelesaiannya adalah daerah yang diberi arsiran,seperti pada Gambar 1.1 (b).b.2x + y > – 4, x, y D RLangkah-langkah untuk menentukan daerah penyelesaianadalah sebagai berikut.1) Menggambar grafik garis lurus pembatasnyaDengan cara seperti di atas, diperoleh sebagai berikut.Untuk x = 0 maka 2(0) + y = –4 y = –4.Untuk y = 0 maka 2x + 0 = –4 x = –2x02y30(x, y)(0, 3)(2, 0)YXO32(a)(b)3x + 2y* 63x + 2y = 6Gambar 1.1Jadi, titik potong dengan sumbu koordinat adalah(0, –4) dan (–2, 0). Gambarnya terlihat pada Gambar1.2 (a).x0–2y–40(x, y)(0, –4)(–2, 0)
6Khaz Matematika SMA 3 Bhs2) Menyelidiki daerah penyelesaianUntuk menentukan daerah himpunan penyelesaian per-tidaksamaan, kita ambil titik (0, 0). Dengan menyubsti-tusikan titik (0, 0) pada pertidaksamaan maka diperoleh2(0) + 0 > –4 0 > –4.Terlihat bahwa pernyataan 0 > –4 benar. Berarti, titik(0, 0) berada pada daerah penyelesaian, sedangkan garis2x + y = –4 tidak memenuhi pertidaksamaan sehinggadigambar putus-putus. Oleh karena titik (0, 0) berada diatas garis 2x + y = –4 maka daerah di atas garis diberiarsiran. Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerahyang diarsir, seperti pada Gambar 1.2 (b).Grafiknya dapat ditampilkan sebagai berikut.(a)(b)YXO–2–42x + y = –4Gambar 1.2Kuis• Kerjakan di buku tugasDaerah yang diarsir padagambar berikut adalah him-punan penyelesaian dari ....O24213XYa.x* 0; 4x + y* 4;x + y) 2b.x* 0; 4x + y) 4;x + y* 2c.x* 0; 4x + y > 4;x + y < 2d.x* 0; x + 4y > 4;x + y < 2e.x* 0; x + 4y) 4;x + y* 2Ebtanas 1997Contoh 2:Tentukan daerah himpunan penyelesaian yang memenuhisistem pertidaksamaan berikut.a.x* 0; y* 0; 2x + y) 4; x, yDRb.x* 0; y* 0; x) 3; x + y) 5; x, yDRJawab:a.x* 0; y* 0; 2x + y) 41) Kita cari titik potong 2x + y = 4 dengan sumbukoordinat Cartesius.x02y40(x, y)(0, 4)(2, 0)Untuk x = 0 A 2(0) + y = 4 y = 4.Untuk y = 0 A 2x + 0 = 4 2x = 4 x = 2.Jadi, diperoleh titik potong (0, 4) dan (2, 0).
7Program LinearYXO42(0, 4)(2, 0)Gambar 1.32) Grafik sistem pertidaksamaan linear tersebut tampakpada gambar di samping.Pada grafik di samping,a) penyelesaian x* 0 tersebut berada di sebelahkanan sumbu Y maka yang kita arsir adalahdaerah tersebut;b) penyelesaian y* 0 terletak di sebelah atas sumbuX maka kita arsir daerah tersebut;c) untuk menyelidiki daerah himpunan penyelesaiandari pertidaksamaan 2x + y) 4 maka ambil titik(0, 0), kemudian substitusikan ke 2x + y)4sehingga diperoleh 2(0) + 0 ) 4 0 ) 4.Terlihat pernyataan di atas benar. Jadi, titik (0, 0)berada di dalam daerah penyelesaian sehingga daerahdi mana titik (0, 0) berada, yaitu di bawah garis 2x + y= 4 kita arsir.Dari ketiga himpunan penyelesaian yang diperoleh,dapat disimpulkan bahwa daerah penyelesaian dari sistempertidaksamaan linear itu adalah irisan atau interseksi dariketiga himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut.Jadi, daerah yang diarsir adalah daerah penyelesaian darisistem pertidaksamaan linear, seperti terlihat padaGambar 1.3.b.x* 0; y* 0; x) 3; x + y) 5; x, y D R1) Kita cari titik potong x + y = 5 dengan sumbukoordinat Cartesius.x05y50(x, y)(0, 5)(5, 0)Untuk x = 0 A 0 + y = 5 y = 5Untuk y = 0 A x + 0 = 5 x = 5Jadi, diperoleh titik potong (0, 5) dan (5, 0)2) Grafik sistem pertidaksamaan linear tersebut adalahsebagai berikut.Dari Gambar 1.4, tampaka) penyelesaian x* 0 adalah daerah di sebelahkanan sumbu Y (daerah arsiran);b) penyelesaian y* 0 terletak di sebelah atas sumbuX (daerah arsiran);
8Khaz Matematika SMA 3 Bhsc) penyelesaian x) 3 adalah daerah di sebelah kirigaris x = 3;d) penyelesaian pertidaksamaan x + y) 5 adalahdaerah di sebelah kiri (bawah garis x + y = 5);e) titik potong garis x = 3 dan x + y = 5 denganmenyubstitusikan x = 3 ke persamaan x + y = 5sehingga diperoleh y = 2. Jadi, titik potongnyaadalah (3, 2).Dengan demikian, himpunan penyelesaian darisistem pertidaksamaan x* 0, y* 0, x) 3, dan x + y) 5dengan x, y D R adalah daerah segi empat OABC yangdiarsir, seperti terlihat pada Gambar 1.4.2. Model MatematikaProgram linear adalah salah satu bagian dari matematikaterapan yang berisikan pembuatan program untuk memecahkanberbagai persoalan sehari-hari. Persoalan-persoalan itumengandung kendala atau batasan yang dapat diterjemahkan kedalam model matematika. Model matematika adalah suatu hasilpenerjemahan dari bahasa sehari-hari menjadi bentuk matematikaberupa persamaan, pertidaksamaan, atau fungsi.Jadi, program linear tersusun atas sistem pertidaksamaanlinear. Penyelesaian dari pertidaksamaan linear berupa daerahhimpunan penyelesaian. Di antara penyelesaian tersebut, terdapatpenyelesaian terbaik yang disebut penyelesaian optimum.Penyelesaian optimum dapat berupa nilai maksimum atau nilaiminimum dari suatu fungsi yang dinamakan fungsi objektif,fungsi sasaran atau fungsi tujuan. Untuk memahami lebih lanjuttentang program linear dan model matematika, perhatikanAktivitas berikut.YXOx = 3C(0, 5)A(3, 0)B(3, 2)5x + y = 5Gambar 1.4AktivitasTujuan:Menentukan model matematika dariperistiwa kehidupan sehari-hari sertamenyelesaikannya.Permasalahan:Bagaimana cara merumuskan dalambahasa matematika dan menyelesaikannyajika permasalahan disajikan dalam bentukperistiwa sehari-hari?
9Program LinearKegiatan:Simaklah persoalan berikut.Suatu perusahaan produsen mebelmemproduksi dua jenis produk, yaitu mejamakan dan lemari. Meja makan dijualdengan harga Rp650.000,00 dan lemaridijual dengan harga Rp1.100.000,00.Perusahaan itu memiliki target sebanyak500 unit mebel produknya harus terjualdalam periode itu. Untuk memproduksisatu unit meja makan, diperlukan waktu2 hari, sedangkan untuk memproduksisatu unit lemari, diperlukan waktu 5 hari.Waktu yang disediakan 150 hari. Berapabanyak meja makan dan lemari yang harusdiproduksi oleh perusahaan itu agarpendapatannya maksimum?1. Misalkan banyak meja makan danlemari yang diproduksi dalam suatuvariabel. Misalnya, banyak mejamakan = x dan banyak lemari = y.2. Susunlah pertidaksamaan-pertidaksama-an yang sesuai dengan kasus di atas.a. Susun pertidaksamaan yangmemuat banyak unit mebel yangdiproduksi perusahaan itu.b. Susun pertidaksamaan yangmemuat waktu dalam prosesproduksinya.c. Susun syarat bahwa banyak unitadalah bilangan cacah.3. Susunlah suatu fungsi yang akandimaksimumkan nilainya.4. Dari pertidaksamaan-pertidaksamaanyang kalian peroleh, membentuksistem pertidaksamaan. Gambarkandalam bentuk grafik. Arsirlah daerahyang memenuhi sistem pertidak-samaan.5. Bentuk apakah daerah himpunanpenyelesaiannya (dalam grafik)?6. Selidiki titik-titik sudutnya, dengan caramenyubstitusikan titik-titik itu ke dalamfungsi yang akan dimaksimumkan.7. Dari langkah 6, berapakah jawabandari permasalahan ini?Kesimpulan:Apa yang dapat kalian simpulkan?TantanganPenalaran• Kerjakan di buku tugasMisalkan seorang pedagangsepatu memiliki modalRp8.000.000,00. Dia akanmerencanakan membeli duajenis sepatu, yaitu sepatujenis I dan jenis II. Hargabeli sepatu jenis I Rp20.000,00per pasang dan sepatu jenisII Rp16.000,00 per pasang.Keuntungan dari penjualansepatu jenis I dan jenis IIberturut-turut adalahRp9.000,00 dan Rp8.500,00per pasang. Mengingatkapasitas kiosnya, ia akanmembeli maksimal 450pasang sepatu saja. Bagai-mana model matematikaprogram linear dari kasusini?
10Khaz Matematika SMA 3 BhsSetelah melakukan Aktivitas di atas, tentu kalian dapatmembayangkan permasalahan sehari-hari ke dalam bahasamatematika. Agar kalian lebih jelas, pelajari contoh-contohberikut.Contoh 1:Linda membeli 3 kue A dan 2 kue B di supermarket. Oleh karenaitu, Linda harus membayar Rp3.400,00, sedangkan Watimembeli 2 kue A dan 3 kue B sehingga ia harus membayarRp3.100,00. Jika harga sebuah kue A dan sebuah kue B masing-masing x rupiah dan y rupiah, buatlah model matematika darimasalah tersebut.Jawab:Misalkan harga sebuah kue A adalah x dan harga sebuah kueB adalah y.Untuk memudahkan pembuatan model matematika, kita buattabel seperti tabel berikut.NamaKue AKue BHargaLinda323.400Wati233.100Berdasarkan jumlah uang yang dibayarkan Linda makadiperoleh 3x + 2y = 3.400, sedangkan berdasarkan jumlahuang yang dibayarkan Wati, diperoleh 2x + 3y = 3.100. Karenax dan y menunjukkan harga barang maka nilai x dan y harusberupa bilangan real non-negatif sehingga x* 0, y* 0; x, y D R.Jadi, model matematika dari masalah di atas adalah3x + 2y = 3.4002x + 3y = 3.100x* 0, y* 0x, y D RContoh 2:Luas lahan parkir 360 m2. Luas rata-rata untuk sebuah mobil 6 m2dan untuk sebuah bus 24 m2. Lahan parkir itu tidak dapatmemuat lebih dari 25 kendaraan. Buatlah model matematikadari masalah tersebut.Jawab:Misalkan banyak mobil adalah x dan banyak bus adalah y.Masalah tersebut dapat disajikan dalam tabel berikut.
11Program LinearDari tabel tersebut, diperoleh hubungan sebagai berikut.6x + 24y) 360x + y) 25Karena x dan y menunjukkan banyaknya mobil dan bus makax dan y harus berupa bilangan cacah.Jadi, model matematika dari masalah tersebut adalah624360250xyxyxyxy C+)+)*D ̈©««ª««,,JumlahMobil (x)Bus (y)PersediaanLuas Lahan624360Daya Tampung1125Tugas: Observasi• Kerjakan di buku tugasBuatlah suatu himpunanpenyelesaian yang dibatasioleh 7 buah garis. Tentukansistem pertidaksamaan li-near yang membatasi daerahtersebut. Dapatkah kalianmembuat daerah himpunanpenyelesaian yang yangdibatasi lebih dari 7 buahgaris? Jika ya, buatlahcontohnya.Soal Kompetensi 1• Kerjakan di buku tugas1.Gambarlah himpunan penyelesaian pertidaksamaanberikut.a.x) 5d.3x – 4y) 18b.y > 3e.–4x – 7y* 42c.x + y) 4f.8x – 5y < 402.Gambarlah himpunan penyelesaian sistem pertidak-samaan linear berikut pada bidang Cartesius.a.x* 0c.y* 0y* 0x – y* 05x + 3y < 15x + y* 6b.x, y* 0d.x + y – 10 ) 0x* 26x + 3y) 18x) 52 < x) 7x – y* 0y* 03.Gambarlah himpunan penyelesaian sistem pertidak-samaan linear berikut pada bidang Cartesius.a.x + 2y – 10 ) 10x + y – 7 ) 0x* 0, y* 0x, yDRb.3x + y* 95x + 4y) 20x* 0y* 0x, yDRc.x + y) 6x* 2y * 0x, yDRd.2x + y)2x + 2y* 2x, y* 0x, yDR
12Khaz Matematika SMA 3 Bhs4.Togar membeli 3 buku tulis dan 8 pensil. Ia diharuskanmembayar Rp8.200,00. Ucok membeli 4 buku tulis dan 5pensil dan harus membayar Rp7.800,00. Jika x dan ymasing-masing harga sebuah buku tulis dan sebuah pensil,buatlah model matematika dari masalah tersebut.5.Seorang petani ingin menanami lahannya dengan pohonjeruk dan pohon mangga. Luas lahan yang tersedia 160m2. Luas rata-rata untuk sebuah pohon jeruk dan pohonmangga masing-masing 1 m2 dan 1,5 m2. Lahan itu dapatmemuat sebanyak-banyaknya 70 pohon. Buatlah modelmatematikanya.6.Bu Nina membuat dua jenis kue, yaitu kue jenis A yangmemerlukan 25 g tepung dan 10 g gula, sedangkan kuejenis B memerlukan 20 g tepung dan 15 g gula. Jumlahtepung dan gula yang ia miliki masing-masing 1.000 g dan800 g. Bu Nina ingin membuat kue sebanyak-banyaknya.Buatlah model matematikanya.7.Seorang penjaja buah-buahan yang menggunakan gerobakmenjual mangga dan apel. Harga pembelian mangga danapel Rp750.000,00. Muatan gerobaknya tidak dapatmelebihi 4 kuintal. Jika keuntungan tiap kilogram mangga3 kali keuntungan tiap 4 kg apel dan penjaja itu inginmendapat keuntungan sebanyak-banyaknya, buatlahmodel matematikanya.8.Pak Hendra mempunyai 120 m bahan wol dan 80 m bahankatun. Bahan-bahan itu akan dibuat dua model pakaian.Setiap pakaian model I memerlukan 3 m bahan wol dan 1 mbahan katun. Setiap pakaian model II memerlukan 2 mbahan wol dan 2 m bahan katun. Misalkan banyaknyapakaian model I x buah dan banyakan pakaian model IIadalah y buah. Buatlah model matematikanya.9.Seorang pengusaha sepeda ingin membeli sepeda balapdan sepeda gunung sebanyak 30 buah untuk persediaan.Harga sebuah sepeda balap Rp1.500.000,00 dan sepedagunung Rp1.750.000,00. Tentukan model matematikauntuk permasalahan di atas.10. Sebuah pabrik obat berencana membuat 2 jenis obatsuplemen, yaitu obat I dan obat II, yang masing-masingmengandung vitamin A, B, dan C. Persediaan vitamin A,vitamin B, dan vitamin C yang dimiliki pabrik tersebutmasing-masing 10 gram, 5 gram, dan 15 gram. Jika obat Imemerlukan 75 mg vitamin A, 150 mg vitamin B,dan200 vitamin C, sedangkan obat II memerlukan vitamin A,B, dan C masing-masing 100 mg, 125 mg, dan 225 mgmaka tentukan model matematika dari permasalahan diatas.TantanganEksplorasi• Kerjakan di buku tugasMisalkan P adalah himpun-an titik yang dibatasi olehgaris g : 2x + y = 2; h : y =x + 1; dan sumbu Y positif.Tentukan program linearyang memenuhi P.SPMB 2005
13Program LinearB. Nilai Optimum Suatu Fungsi ObjektifSeperti yang telah disebutkan di depan, suatu permasalahandapat dituliskan dalam bahasa matematika. Suatu permasalahantentu mempunyai bentuk penyelesaian yang optimum.Jendela InformasiInformasi lebih lanjutGeorge Bernard DantzigMasalah pengambilan keputusan biasanyamencakup faktor-faktor penting yang tidakberwujud dan tidak dapat diterjemahkan secaralangsung ke bentuk model matematis. Dalam halini, kehadiran manusia sangat menentukan hampirdi setiap lingkungan keputusan. Dari hasilpenelitian dilaporkan bahwa perilaku manusiabegitu memengaruhi masalah pengambilankeputusan sehingga pemecahan yang diperolehdari model matematis dipandang tidak praktis.Secara umum, tahap-tahap yang harus dilakukandalam modelisasi dan optimasi solusi suatumasalah adalah meliputi: (1) pendefinisianmasalah, (2) merumuskan model, (3) memecahkanmodel, (4) pengujian keabsahan model, dan (5)implementasi hasil akhir.George BernardDantzigPermasalahan di atas erat hubungannya dengan pemrograman linear.Permasalahan mengenai kasus-kasus pemrograman linear dapatdiselesaikan dengan menggunakan metode simpleks, yang merupakansalah satu cara untuk menyelesaikan kasus-kasus pemrograman linear.Kendalanya adalah penyelesaian dengan cara ini jika dikerjakan secaramanual, memerlukan waktu yang cukup lama. Sekarang metode ini sudahdikembangkan dalam suatu program, yaitu QSB. Metode simpleksditemukan oleh George Bernard Dantzig. Carilah informasi tentang pro-gram ini. Apakah metode simpleks dalam program ini cukup efektif untukpenyelesaian program linear?Sumber: www.mate-mati-kaku.comSumber:news-service.stanford.edu1. Fungsi Objektif z = ax + byFungsi tujuan dalam pembuatan model matematikadinyatakan dalam bentuk z = ax + by. Bentuk z = ax + by yangakan dioptimumkan (dimaksimumkan atau diminimumkan)tersebut disebut juga fungsi objektif. Jadi, fungsi objektif dariprogram linear adalah fungsi z = ax + by yang akanditentukan nilai optimumnya. Misalnya sebagai berikut.
14Khaz Matematika SMA 3 Bhsa.Fungsi objektif: memaksimumkan z = x + yKendala: 5x + 4y) 20x + 2y) 24x, y* 0, dengan x, y D Cb.Fungsi objektif: meminimumkan z = 2x + 3yKendala:x + y) 5004x + 2y) 200x, y* 0x, y D CDari uraian yang telah diberikan, kita dapat mengetahui tujuanutama dari program linear, yaitu menentukan nilai optimum(maksimum/minimum) dari suatu fungsi objektif. Untukmenyelesaikan masalah program linear yang berhubungan dengannilai optimum, langkah-langkah pemecahannya adalah sebagaiberikut.a.Merumuskan permasalahan ke dalam model matematika.b.Membentuk sistem pertidaksamaan linear yang sesuai.c.Menggambarkan kendala sebagai daerah di bidang Cartesiusyang memenuhi sistem pertidaksamaan linear.d.Menentukan nilai optimum (maksimum/minimum) darifungsi objektif.e.Menafsirkan/menjawab permasalahan.Berkaitan dengan hal tersebut, ada dua metode yang dapatdigunakan untuk menentukan nilai optimum dari program linear,yaitu metode uji titik sudut dan metode garis selidik.a.Metode Uji Titik SudutMetode uji titik sudut adalah suatu metode untukmenentukan nilai optimum dari bentuk objektif z = ax + bydengan cara menghitung nilai-nilai z = ax + by pada setiap titiksudut yang terdapat pada daerah himpunan penyelesaian pertidak-samaan linear dua variabel, kemudian membandingkan nilai-nilaiyang telah diperoleh. Nilai yang paling besar merupakan nilaimaksimum dari z = ax + by, sedangkan nilai yang paling kecilmerupakan nilai minimum dari z = ax + by.2. Menentukan Nilai Optimum Fungsi ObjektifContoh 1:Tentukan nilai optimum dari model matematika berikut.Fungsi objektif : memaksimumkan z = x + yKendala: 3x + 2y) 12x, y* 0x, y D R
15Program LinearYXOA(4, 0)B(0, 6)3x + 2y = 12Gambar 1.5x04y60(x, y)(0, 6)(4, 0)Jawab:Titik potong garis 3x + 2y = 12 dengan sumbu koordinatdisajikan dalam tabel berikut.Jadi, diperoleh titik potong koordinat (0, 6) dan (4, 0).Kemudian, kita lukis pada bidang koordinat dan kitahubungkan dengan sebuah garis lurus. Setelah itu, tentukandaerah penyelesaian dari kendala-kendala yang tersedia.Dari Gambar 1.5, terlihat daerah penyelesaian dari kendala-kendala adalah daerah segitiga OAB, sehingga diperoleh titik-titik sudut dari daerah penyelesaian adalah O(0, 0), A(4, 0),dan B(0, 6).Selanjutnya, selidiki nilai bentuk objektif z = x + y untukmasing-masing titik sudut tersebut.BTitikO(0, 0)A(4, 0)B(0, 6)x040y006z = x + y046 z maksDari tabel di atas, nilai maksimum bentuk objektif z = x + yadalah 6, yaitu untuk x = 0 dan y = 6.Contoh 2:Diketahui suatu model matematika sebagai berikut.Fungsi objektif: meminimumkan z = 8x + 10yKendala-kendala: 5x + 4y* 209x + 8y) 72x, y* 0x, y D CTentukan nilai minimum dari model matematika tersebut.Jawab:Dari kendala-kendala yang ada, yaitu 5x + 4y* 20 dan 9x +8y) 72, kita tentukan titik potong garis-garis tersebut dengansumbu-sumbu koordinat Cartesius.
16Khaz Matematika SMA 3 Bhsx08y90(x, y)(0, 9)(8, 0)x04y50(x, y)(0, 5)(4, 0)Dari kedua tabel di atas, tentu kalian memperoleh titik potongdengan sumbu-sumbu koordinat.Kemudian, kita lukis pada bidang koordinat dan kitahubungkan titik-titik potong tersebut dengan garis lurus.Setelah itu, kita arsir daerah penyelesaiannya, seperti gambardi samping.Dari gambar di samping, terlihat daerah penyelesaiannyaadalah segi empat ABCD. Dengan demikian, diperoleh titik-titik sudut dari daerah penyelesaian adalah A(4, 0), B(8, 0),C(0, 9), dan D(0, 5). Selanjutnya, akan diselidiki nilai 8x +10y untuk masing-masing titik sudut tersebut.TitikA(4, 0)B(8, 0)C(0, 9)D(0, 5)x4800y0095z = 8x + 10y32649050z minz maksBBYXOA(4, 0)C(0, 9)D(0, 5)B(8, 0)Gambar 1.6Dari tabel di atas, terlihat bahwa nilai minimum bentukobjektif z = 8x + 10y adalah z = 32, yaitu untuk x = 4 dan y = 0.TantanganPenalaran• Kerjakan di buku tugasUntuk menghasilkan barangjenis A seharga Rp500.000,00memerlukan bahan baku 20 kgdan waktu kerja mesin 24jam. Barang B sehargaRp700.000,00 memerlukanbahan baku 30 kg dan waktukerja mesin 18 jam. Bera-pakah nilai maksimum darimasing-masing jenis barangyang dapat dibuat selama720 jam waktu kerja mesindan 750 kg bahan baku?Contoh 3:Diketahui luas lahan parkir 360 m2. Untuk sebuah mobil dansebuah bus, berturut-turut membutuhkan lahan 6 m2 dan 24 m2.Daerah parkir itu tidak dapat memuat lebih dari 30 kendaraan.Tentukan jumlah maksimum yang diterima tukang parkir jikabiaya parkir untuk sebuah mobil Rp1.500,00 dan sebuah busRp3.000,00.Jawab:Terlebih dahulu kita terjemahkan permasalahan tersebut kedalam model matematika dengan cara membuat tabel sepertiberikut.Mobil (x)Bus (y)PersediaanLuas Lahan624360Daya Tampung1130Biaya Parkir1.5003.000
17Program LinearMisalkan banyak mobil adalah x dan banyak bus adalah y. Daritabel di atas dapat dibuat model matematika berikut.Fungsi objektif: memaksimumkan z = 1.500x + 3.000yKendala: 6x + 24y) 360 atau x + 4y) 60x + y) 30x* 0y* 0x, y D CKita tentukan titik potong garis x + 4y = 60 dan x + y = 30dengan sumbu koordinat Cartesius, seperti terlihat pada keduatabel berikut.x030y300(x, y)(0, 30)(30, 0)x060y510(x, y)(0, 15) (60, 0)Kita buat daerah himpunan penyelesaian kendala-kendaladalam bidang Cartesius.Kita tentukan titik potong antara dua garis dengan eliminasi.x + 4y = 60x + y = 30 3y = 30 y = 10TantanganPenalaran• Kerjakan di buku tugasMisalkan seseorang pe-dagang sepatu memilikimodal Rp8.000.000,00. Diaakan merencanakan membelidua jenis sepatu, yaitusepatu jenis I dan sepatujenis II. Harga beli sepatujenis I Rp20.000,00 perpasang dan sepatu jenis IIRp16.000,00 per pasang.Keuntungan dari penjualansepatu jenis I dan sepatujenis II berturut-turut adalahRp9.000,00 dan Rp8.500,00per pasang. Mengingatkapasitas kiosnya, ia akanmembeli maksimal 450pasang sepatu saja. Bagai-mana model matematikaprogram linear dari kasusini?Gambar 1.7YXOB(20, 10)603015CAx + 4y = 6030x + y = 30Dengan menyubstitusikan y = 10 ke salah satu persamaan,diperoleh x = 20. Jadi, titik potong kedua garis tersebut adalah(20, 10).Dari gambar di atas, terlihat daerah penyelesaiannya mem-punyai empat titik sudut, yaitu O(0, 0), A(30, 0), B(20, 10), danC(0, 15). Selanjutnya, kita selidiki nilai objektif z = 1.500x +3.000y untuk masing-masing titik sudut. Perhatikan tabelberikut.
18Khaz Matematika SMA 3 Bhsb.Metode Garis Selidik ax + by = kCara lain yang lebih sederhana untuk menentukan nilaimaksimum atau minimum dari fungsi objektif z = ax + by adalahdengan menggunakan garis selidik ax + by = k. Langkah-langkahuntuk menggunakan metode garis selidik ini adalah sebagaiberikut.1) Gambar garis ax + by = ab yang memotong sumbu X dititik (b, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, a).2) Tarik garis yang sejajar dengan ax + by = ab yang melaluititik-titik perpotongan pada batas-batas daerah himpunanpenyelesaian.3) Garis selidik yang berada di paling atas atau yang berada dipaling kanan menunjukkan nilai maksimum, sedangkan garisselidik yang berada di paling bawah atau di paling kiri padadaerah himpunan penyelesaian menunjukkan nilai minimum.TitikO(0, 0)A(30, 0)B(20, 10)C(0, 15)x030 20 0y001015z = 1.500x + 3.000y045.00060.00045.000z maksDari tabel di atas, terlihat nilai maksimumnya adalahz = 60.000, yaitu untuk x = 20 dan y = 10.Jadi, tukang parkir itu akan memperoleh penghasilanmaksimum, yaitu Rp60.000,00 jika ia dapat menerima parkirmobil sebanyak 20 buah dan parkir bus sebanyak 10 buah.Tugas: Inkuiri• Kerjakan di buku tugasSelain menggunakan meto-de eliminasi untuk mencarititik potong antara 2 garis,dapatkah kita menggunakancara lain? Jika ya, caraapakah itu? Bagaimana caramenyelesaikannya?Contoh 1:TantanganEkplorasi• Kerjakan di buku tugasMisalnya seorang pedagangkaki lima menyediakanmodal Rp165.000,00 untukmembeli buku. Harga bukujenis I Rp2.000,00 dan hargabuku jenis II Rp5.000,00.Banyak buku jenis I yang iabeli tidak lebih dari tiga kalibanyak buku jenis II. Iamengambil keuntunganRp300,00 untuk setiap bukujenis II. Jika buku-bukuyang ia beli dengan caratersebut terjual habis, berapakeuntungan maksimal yangia peroleh?Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi objektifz = 2x + 3y yang memenuhi x + y) 7, x* 0, dan y* 0, x, y D R.Jawab:Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan tersebut adalahseperti gambar di samping.Untuk menggunakan metode garis selidik ax + by = k,ikutilah langkah-langkah berikut.a)Gambarlah garis 2x + 3y = 2(3) 2x + 3y = 6. Anggap sebagaigaris k0.b) Tariklah garis k1 yang sejajar garis k0 melewati titik A(7, 0).Tarik garis k2 yang sejajar k1 dan melalui titik B(0, 7).Kemudian, tarik garis k3 yang sejajar k2 dan melalui titik(0, 0).
19Program LinearYXO2x + 3y = 6B(0, 7)77A(7, 0)k2k1k0k3garis palingbawahgaris palingatasGambar 1.8Terlihat bahwa dari Gambar 1.8, garis k2 letaknya paling atas,berarti nilai maksimum dari z = 2x + 3y dicapai pada titik B(0, 7).Jadi, nilai maksimum dari z = 2z + 3y = 2(0) + 3(7) = 21. Garis k3letaknya paling bawah, berarti nilai minimum dicapai pada titik O(0, 0)sehingga nilai minimum dari z = 2x + 3y = 2(0) + 3(0) = 0.Contoh 2:Seorang petani ingin memberikan pupuk pada tanamanpadinya. Pupuk yang diberikan harus mengandung sekurang-kurangnya 600 g fosfor dan 720 g nitrogen. Pupuk Imengandung 30 g fosfor dan 30 g nitrogen per bungkus. PupukII mengandung 20 g fosfor dan 40 g nitrogen per bungkus.Petani itu ingin mencampur kedua pupuk tersebut. Satubungkus pupuk I harganya Rp17.500,00 dan pupuk II harganyaRp14.500 per bungkus. Tentukan biaya minimum yang harusdikeluarkan oleh petani tersebut.Jawab:Untuk menjawab permasalahan di atas, terlebih dahulu kitaterjemahkan ke dalam model matematika. Untukmempermudah, kita buat tabel seperti berikut.KandunganPupuk I (x) Pupuk II (y) KebutuhanFosfor3020600 gNitrogen3040720 gHarga17.50014.500Misalkan banyak pupuk I adalah x dan banyak pupuk II adalah y.Dari tabel di atas, diperoleh model matematika sebagai berikut.Fungsi objektif: meminimumkan z = 17.500x + 14.500y.PerhatianJika variabelnya bilangancacah, penyelesaian optimumdiperoleh dari titik sudutyang absis dan ordinatnyabilangan cacah. Akan tetapi,jika salah satu absis atauordinatnya bukan bilangancacah, penyelesaian optimumdiperoleh dari titik di dekat(persekitaran) titik tersebut.
20Khaz Matematika SMA 3 BhsKendala-kendala: 30x + 20y* 600 3x + 2y* 6030x + 40y* 720 3x + 4y* 72x, y* 0; x, y D RJika digambarkan, daerah penyelesaian pertidaksamaan di atasadalah sebagai berikut.
Gambar 1.9Tugas: Eksplorasi• Kerjakan di buku tugasCoba kalian kerjakan keduacontoh di atas denganmetode uji titik sudut. Apakesimpulan kalian?Tentukan nilai maksimum dari 4x + y yang memenuhi3x + y) 8, x* 0, y* 0 dan x, y D C.Jawab:Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.Dari Gambar 1.10 diperoleh titik sudut O(0, 0), A(223, 0), danB(0, 8). Karena absis dari titik A bukan merupakan bilangancacah, harus dicari titik pada daerah yang diarsir, dengan absisdan ordinat merupakan bilangan cacah dan letaknya dekat titikA(223, 0). Titik yang sesuai dengan syarat di atas adalah (2, 0)dan (2 ,1).TitikO(0, 0)A1(2, 0)A2(2, 1)B(0, 8)x02 20y00 18z = 4x + y08 98z maksDari tabel di atas, diperoleh nilai maksimum fungsi z = 4x + yadalah z = 9, untuk x = 2 dan y = 1.Gambar 1.10Dari gambar di samping, terlihat bahwa titik B merupakanperpotongan garis 3x + 2y = 60 dan 3x + 4y = 72. Kita tentukankoordinat titik B sebagai berikut.3x + 2y= 603x + 4y= 72 –2y= –12 y= 6Jadi, diperoleh y = 6. Dengan menyubstitusikan y = 6 ke salahsatu persamaan garis di atas, diperoleh x = 16. Oleh karena itu,koordinat titik B adalah B(16, 6).Terlihat dari Gambar 1.9, titik B terletak paling kiri dari batas-batas daerah penyelesaian sehingga nilai minimum dicapai padatitik B(16, 6), yaitu z = 17.500(16) + 14.500(6) = 367.000.Jadi, biaya minimum yang dibutuhkan oleh petani tersebut adalahRp367.000,00 dengan cara membeli 16 bungkus pupuk I dan 6bungkus pupuk II.ProblemSolving
21Program LinearSoal Kompetensi 2• Kerjakan di buku tugasUntuk nomor 1 – 5, gunakan metode uji titik sudut dan metodegaris selidik untuk menghitung nilai minimum dan nilaimaksimum model matematika berikut.1.Fungsi objektif: z = 6x + 5yKendala: 2x + y) 10y) 6x, y* 0x, y D R2.Fungsi objektif : z = 100x + 50yKendala: 2x + 3y) 162x + 6 ) 10x, y* 0x, y D C3.Fungsi objektif: z = 7x + 4yKendala: 8x + 11y) 88x + y) 10x, y* 0x, y D C4.Fungsi objektif: z = 5x + 7yKendala :x + y) 52z + 5y) 10x* 0y* 0x, yDR .5.Fungsi objektif : z = 10x + 25yKendala: 3x – 2y) 64x + 2y) 8x* 0y* 0x, yDR6.Untuk menghasilkan barang jenis A seharga Rp500.000,00memerlukan bahan baku 20 kg dan waktu kerja mesin 24 jam.Barang B seharga Rp700.000,00 memerlukan bahan baku30 kg dan waktu kerja mesin 18 jam. Berapakah nilaimaksimum dari masing-masing jenis barang yang dapatdibuat selama 720 jam waktu kerja mesin dan 750 kgbahan baku?7.Misalkan seorang pedagang kaki lima menyediakanmodal Rp165.000,00 untuk membeli buku dengan bukujenis I dengan harga Rp2.000,00 per buah dan buku jenisII dengan harga Rp5.000,00 per buah. Jumlah buku jenisI yang ia beli tidak lebih dari tiga kali jumlah buku jenisII. Ia mengambil keuntungan Rp300,00 untuk setiap bukuTantanganEksplorasi• Kerjakan di buku tugasSeorang pasien diharuskanmeminum obat yang me-ngandung sekurang-kurang-nya 75 g kalsium dan 96 gzat besi. Obat I mengandungkalsium dan zat besi masing-masing sebesar 15 g dan 10 gper butir, sedangkan obat IImengandung 10 g kalsiumdan 16 g zat besi per butir.Jika harga per butir obat IRp1.500,00 dan obat IIRp800,00 per butir. Tentu-kan biaya minimum yangharus dikeluarkan pasien ituuntuk memenuhi kebutuhankalsium dan zat besi.
22Khaz Matematika SMA 3 Bhsjenis II. Jika buku-buku yang ia beli dengan cara tersebutterjual habis, berapa keuntungan maksimum yang ia peroleh?8.Seorang pedagang asongan ingin menjual rokok jenis A dan jenisB pada suatu kardus. Kardus itu hanya dapat memuat 25bungkus rokok. Rokok A yang harganya Rp3.000,00 perbungkus dijual dengan laba Rp500,00 per bungkus, sedangkanrokok B harganya Rp4.000,00 dan dijual dengan labaRp750,00 per bungkus. Ia hanya mempunyai modalRp84.000,00. Tentukan berapa banyak rokok masing-masingharus ia beli agar mendapat untung sebesar-besarnya. Tentukanpula besar untungnya.9.Pak Sihombing ingin merenovasi rumahnya. Ia inginmerombak kamar tidur dan kamar mandinya. Ia menyewaseorang pemborong untuk merenovasi kamar tidur dan kamarmandi tersebut. Pemborong itu mengajukan kebutuhan bahanbangunan seperti berikut.BahanKamar Tidur Kamar MandiPersediaanSemen24 sak12 sak288 sakBatu Bata1.800 buah1.600 buah28.800 buahBiayaRp300.000,00Rp275.000,0010. Pada tanah seluas 10.000 m2 akan dibangun tidak lebih dari125 unit rumah, tipe RS dan tipe RSS. Tipe RS memerlukantanah 60 m2 dan tipe RSS memerlukan 50 m2. Rumah-rumahtersebut akan dijual dengan harga per unit Rp20.000.000,00untuk RS dan Rp15.000.000,00 untuk RSS.a.Misal dibangun rumah tipe RS sebanyak x unit dan tipeRSS sebanyak y unit, tulislah sistem pertidaksamaannya.b.Gambarlah grafik himpunan penyelesaian sistem perti-daksamaan yang diperoleh pada satu sistem koordinatCartesius.c.Tentukan bentuk objektif yang menyatakan hasilpenjualan rumah.d.Berapakah banyaknya masing-masing tipe rumah yangharus dibangun agar diperoleh hasil penjualanmaksimum? Hitunglah hasil penjualan maksimum itu.TantanganPenalaran• Kerjakan di buku tugasSuatu perusahaan kerajinantas dan sepatu memerlukanempat unsur A dan enamunsur A per minggu untukmasing-masing hasil pro-duksinya. Setiap tas memer-lukan satu unsur A dan duaunsur B, setiap sepatu me-merlukan dua unsur A dandua unsur B. Jika pembuatansetiap tas memberikankeuntungan Rp3.000,00 dansetiap pembatan sepatumemberi keuntunganRp2.000,00, tentukanbanyak tas dan sepatu yangdihasilkan per minggu agardiperoleh keuntungan mak-simum.1.Program linear merupakan suatu metodeuntuk memecahkan masalah sehari-hariyang berhubungan dengan optimasi.2.Model matematika adalah suatu hasilpenerjemahan bentuk sehari-hari men-jadi bentuk persamaan, pertidaksamaan,atau fungsi.Rangkuman
23Program LinearRefleksiKalian telah mempelajari program linear.Materi ini sangat dekat dengan kehidupannyata. Hal-hal yang sifatnya nyata sangatdominan, terutama pada kasus-kasusyang sifatnya memaksimumkan danmeminimumkan. Apakah program linearhanya menekankan pada kasus-kasus itu?Berikan alasan kalian.3.Untuk memecahkan permasalahan pro-gram linear, hal yang utama adalahmemisalkan masalah tersebut ke dalammodel matematika.4.Penyelesaian optimum dapat berupa nilaimaksimum atau nilai minimum darifungsi objektif/fungsi sasaran/fungsitujuan.5.Nilai optimum fungsi objektif dapatditentukan, antara lain dengan metode ujititik sudut dan metode garis selidik.Tes Kemampuan Bab I• Kerjakan di buku tugasA. Pilihlah jawaban yang tepat dengan memberi tandasilang (x) pada huruf a, b, c, d, atau e.1.Daerah yang diarsir pada gambar di bawahmemenuhi sistem pertidaksamaan ....d.7x + 8y* 63x) 4x, y* 0e.7x + 8y) 63x) 4x, y* 02.Nilai maksimum fungsi z = 5x + 7y yangmemenuhi sistem pertidaksamaan 2x +3y) 12, x + 2y) 8, x, y* 0 adalah....a.28d.31b.29e.32c.303.Nilai minimum dan nilai maksimumfungsi z = 4x + 3y yang memenuhi sistempertidaksamaan x + y) 6, 2x + y* 3, x* 1,x) 4, dan y* 0 adalah ....a.7 dan 22d.7 dan 24b.6 dan 22e.6 dan 20c.6 dan 24a.8x + 7y) 63y) 4x, y* 0b.8x + 7y* 63x) 4x, y* 0c.7x + 8y) 63x* 4x, y* 0
24Khaz Matematika SMA 3 BhsYXO154025305015IVVIIIIII4.Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaanx) 0, y* 0, 2x + y* 30, 3x + 10y* 150,5x + 8y) 200 adalah ....7.Seorang pemborong melakukan pema-sangan instalasi listrik pada suatu pe-rumahan. Untuk tipe 21, diperlukan 60 mkabel dan 5 lampu. Untuk tipe 36 diperlukan150 m kabel dan 10 lampu. Jika tersedia 5 kmkabel dan 150 lampu, model matematikauntuk permasalahan di atas adalah ....a.6x + 15y* 500, x + y* 30,x, y* 0, x, y D Cb.6x + y* 500, x + y) 30,x, y* 0, x, y D Cc.6x + 15y* 500, 2x + y) 30,x, y* 0, x, y D Cd.6x + 15y) 500, x + 2y* 30,x, y* 0, x, y D Ce.6x + 15y) 500, x + 2y) 30,x, y* 0, x, y D C8.Daerah yang diarsir pada gambar dibawah ini merupakan penyelesaiandari sistem pertidaksamaan linear.Nilai maksimum dari fungsi objektifz = 15.000x + 10.000y adalah ....a.115.000b.125.000c.135.000d.145.000e.155.0009.Jika diketahui bahwa P = x + y dan Q =5x + y maka nilai maksimum dari P danQ pada sistem pertidaksamaan x* 0, y* 0,x + 2y) 12 dan 2x + y) 12 adalah ....a.8 dan 30b.6 dan 6c.4 dan 6d.6 dan 24e.8 dan 2410. Untuk membuat barang A diperlukan6 jam pada mesin I dan 4 jam padamesin II, sedangkan membuat barang Bmemerlukan 2 jam pada mesin I dan 84YXO4-4AB66CDa.Ib.IIc.IIId.IVe.V5.Perhatikan gambar di bawah ini. Jika daerahsegi lima berikut merupakan penyelesaiandari sistem pertidaksamaan linear dari pro-gram linear, fungsi objektif z = 5x + ymencapai maksimum di titik ....a.Ab.Bc.Cd.De.O6.Suatu pesawat udara mempunyai tempatduduk tidak lebih dari 50 penumpang.Setiap penumpang kelas utama bolehmembawa bagasi 70 kg, sedangkan untukkelas ekonomi 30 kg. Pesawat itu hanyadapat membawa bagasi 2.100 kg. Jikaharga untuk kelas utama Rp250.000,00per orang dan kelas ekonomi Rp175.000,00,keuntungan maksimum yang dapatdiperoleh adalah ....a.Rp7.500.000,00b.Rp8.500.000,00c.Rp8.750.000,00d.Rp9.785.000,00e.Rp9.875.000,00YXO46771(1, 6)(3, 7)(5, 4)(7, 4)
25Program Linearjam pada mesin II. Kedua mesintersebut setiap harinya masing-masingbekerja tidak lebih dari 18 jam. Jikasetiap hari dibuat x buah barang A dany buah barang B maka model matematikadari uraian di atas adalah ....a.2x + 3y) 9, 4x + y) 9, x* 0, y* 0b.3x + 2y) 9, 2x + 4y) 9, x* 0, y* 0c.3x + y) 9, 2x + 4y) 9, x* 0, y* 0d.3x + y) 9, 4x + 2y) 9, x* 0, y* 0e.4x + 3y) 9, x + 2y) 9, x* 0, y* 011. Luas area parkir adalah 176 m2. Luasrata-rata mobil sedan dan bus masing-masing 4 m2 dan 20 m2. Area parkirtersebut hanya mampu menampung 20kendaraan, dengan biaya parkir untukmobil dan bus masing-masingRp1.000,00 per jam dan Rp2.000,00 perjam. Jika dalam waktu 1 jam tidak adakendaraan yang pergi atau datang, hasilmaksimum area parkir tersebut adalah ....a.Rp20.000,00b.Rp34.000,00c.Rp44.000,00d.Rp26.000,00e.Rp30.000,0012. Seorang pemilik toko sepatu inginmengisi tokonya dengan sepatu laki-lakipaling sedikit 100 pasang dan sepatuwanita paling sedikit 150 pasang. Tokotersebut dapat memuat 400 pasangsepatu. Keuntungan setiap pasang sepatulaki-laki adalah Rp1.000,00 dan setiappasang sepatu wanita adalah Rp500,00.Jika banyak sepatu laki-laki tidak bolehmelebihi 150 pasang, maka keuntunganterbesar yang dapat diperoleh adalah ....a.Rp275.000,00b.Rp300.000,00c.Rp325.000,00d.Rp350.000,00e.Rp375.000,0013. Perhatikan gambar berikut.O97(4, 1)(2, 3)XYDaerah yang diarsir pada gambar di atasmenya-takan daerah penyelesaian suatusistem pertidaksamaan. Nilai minimumdari x + y pada daerah penyelesaiantersebut adalah .... (UN SMK 2006)a.9d.3b.7e.1c.514. Untuk membuat roti jenis A diperlukan400 gram tepung dan 50 gram mentega.Untuk membuat roti jenis B diperlukan200 gram tepung dan 100 gram mentega.Roti akan dibuat sebanyak-banyaknya.Persediaan tepung 9 kg dan mentega 2,4 kg,bahan-bahan lain dianggap cukup. Jikax menyatakan banyak roti jenis A dan ymenyatakan banyak roti jenis B yangakan dibuat maka model matematikayang memenuhi pernyataan tersebutadalah .... (UN SMK 2007/Paket 14)a.2x – y) 45, x + 2y* 48, x* 0, y* 0b.2x + y) 45, x + 2y) 48, x* 0, y* 0c.2x + y* 45, x + 2y* 48, x* 0, y* 0d.2x + y) 45, x – 2y) 48, x* 0, y* 0e.2x + y) 45, x + 2y) 48, x) 0, y) 015. Perhatikan gambar grafik berikut.Daerah penyelesaian yang memenuhisistem pertidaksamaanx + y) 53x + 2y) 12x* 2y* 0
26Khaz Matematika SMA 3 Bhsa.Id.IVb.IIe.Vc.III16. Nilai maksimum 4x + 5y dengan syaratx* 0; y* 0; x + 2y) 10; x + y) 7 adalah.... (UMPTN 1999)a.34d.31b.33e.30c.3217. Dalam himpunan penyelesaianpertidaksamaan x* 1; y* 2; x + y) 6;2x + 3y) 15. Nilai minimum dari 3x + ysama dengan .... (UMPTN 1998)a.9d.12b.10e.13c.1118. Nilai minimum dari 2x + 3y untuk x, ydi daerah yang diarsir adalah ....Rp6.000,00/kg. Modal yang tersediaRp1.200.000,00, sedangkan gerobaknyahanya dapat memuat mangga dan pisangsebanyak 180 kg. Jika harga jual manggaRp9.200,00/kg dan pisang Rp7.000,00/kg maka laba maksimum yang diperolehadalah .... (UN 2006)a.Rp150.000,00b.Rp180.000,00c.Rp192.000,00d.Rp240.000,00e.Rp216.000,0020. Mobil pick up dan mobil truk akandigunakan untuk mengangkut 1.000 m3pasir. Satu kali jalan, pick up dapatmengangkut 2 m3 pasir dan truk 5 m3pasir. Untuk mengangkut pasir tersebutdiperlukan jumlah truk dan pick uppaling sedikit 350 buah dengan biayaangkut pick up satu kali jalanRp15.000,00 dan truk Rp30.000,00.Biaya minimum untuk mengangkutpasir tersebut adalah .... (UN 2005)a.Rp10.500.000,00b.Rp7.500.000,00c.Rp6.750.000,00d.Rp5.500.000,00e.Rp5.000.000,0021. Nilai maksimum fungsi sasaran z = 6x+ 8y dari sistem pertidaksamaan4x + 2y) 602x + 4y) 48x* 0, y* 0adalah .... (UAN 2003)a.120d.114b.118e.112c.11622. Nilai maksimum bentuk objektif (4x +10y) yang memenuhi himpunanpenyelesaian sistem per-tidaksamaanlinear x* 0, y* 0, x + y) 12, dan x +2y) 16 adalah .... (UAN 2003)a.104d.48b.80e.24c.72(UMPTN 1999)a.25b.15054321621345YIVIIIIIIVXO545XY4c.12d.10e.519. Seorang pedagang menjual mangga danpisang dengan menggunakan gerobak.Pedagang tersebut membeli manggadengan harga Rp8.000,00/kg dan pisangadalah daerah .... (UN SMK 2007/Paket14)
27Program Linear23. Sebuah pabrik menggunakan bahan A,B, dan C untuk memproduksi 2 jenisbarang, yaitu barang jenis I dan barangjenis II. Sebuah barang jenis Imemerlukan 1 kg bahan A, 3 kg bahan B,dan 2 kg bahan C, sedangkan barang jenisII memerlukan 3 kg bahan A, 4 kg bahanB, dan 1 kg bahan C. Bahan baku yangtersedia 480 kg bahan A, 720 kg bahanB, dan 360 kg bahan C. Harga barangjenis I adalah Rp40.000,00 dan hargabarang jenis II adalah Rp60.000,00.Pendapatan maksimum yang diperolehadalah .... (UN 2007/Paket 14)a.Rp7.200.000,00b.Rp9.600.000,00c.Rp10.080.000,00d.Rp10.560.000,00e.Rp12.000.000,0024. Perusahaan tas dan sepatu mendapatpasokan 8 unsur P dan 12 unsur K setiapminggu untuk produksinya. Setiap tasmemerlukan 1 unsur P dan 2 unsur K,sedangkan setiap sepatu memerlukan 2unsur P dan 2 unsur K. Laba untuk setiaptas adalah Rp18.000,00 dan setiap sepatuadalah Rp12.000,00. Keuntunganmaksimum perusahaan yang diperolehadalah .... (UN 2007/Paket 47)a.Rp120.000,00b.Rp108.000,00c.Rp96.000,00d.Rp84.000,00e.Rp72.000,0025. Seorang penjahit membuat 2 modelpakaian. Model pertama memerlukan 1 mkain polos dan 1,5 m kain bercorak.Model kedua memerlukan 2 m kainpolos dan 0,5 m kain bercorak. Diahanya mempunyai persediaan 20 m kainpolos dan 10 m kain bercorak. Jumlahmaksimum pakaian yang dapat dibuatadalah .... (UN 2004)a.10 potongd.14 potongb.11 potonge.16 potongc.12 potong26. Untuk menambah penghasilan keluarga,seorang ibu berjualan 2 jenis roti. Rotijenis I dibeli dengan harga Rp500,00 perbuah dan roti jenis II dengan hargaRp300,00 per buah. Keranjang ibu ituhanya dapat memuat 100 buah roti. Jikaibu itu mengharap keuntunganRp100,00 dari roti jenis I dan Rp50,00dari roti jenis II maka dengan modalRp45.000,00, keuntungan maksimalyang diterima adalah .... UN 2004)a.Rp5.000,00b.Rp7.500,00c.Rp8.750,00d.Rp9.000,00e.Rp10.000,0027. Nilai maksimum dari f(x, y) = 500x + 300yyang memenuhi sistem pertidaksamaan2x + y) 1.500x + y) 1.000x* 0y* 0adalah .... (UAN 2003)a.300.000d.450.000b.375.000e.500.000c.400.00028. Agar fungsi z = px + 5y dengan syarat2x + y* 6, x + y* 5, x* 0,y* 0mencapai minimum di titik (1, 4) makakonstanta p memenuhi .... (SPMB 2007)a.2 < p < 6b.2 )p) 6c.5 < p < 10d.5 )p) 10e.p < 5 atau p > 10
28Khaz Matematika SMA 3 Bhs29. Jika daerah yang diarsir pada diagramdi bawah merupakan daerah penye-lesaian untuk soal program lineardengan fungsi sasaran f(x, y) = x – ymaka nilai maksimum f(x, y) adalah ....30. Dalam sistem pertidaksamaan 2y*x,y) 2x, x + 2y) 20, x + y* 9, nilaimaksimum untuk 3y – x dicapai dititik ....O2XY1-2-3O910209XYRSPTQB. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut denganbenar.1.Tentukan nilai minimum fungsi objektifz = 2x + y yang memenuhi sistempertidaksamaan 2x + 3y* 6, 2x + y* 4,x* 0, y * 0, x, y D C.2.Tentukan nilai maksimum fungsi z =3x + 2y dari sistem pertidaksamaan2x + y* 3, x + y) 6, x* 1, y* 0.3.Seorang tukang listrik membuat 2 jenisbel listrik. Tersedia 12 m kawat untukkumparan dan baterai 30 buah. Untuk bellistrik kecil butuh 3 m kawat dan 5baterai. Bel listrik besar butuh 2 m kawatdan 6 baterai. Bel listrik dijual denganharga Rp5.000,00 dan Rp7.500,00 untukmasing-masing bel listrik kecil danbesar. Berapa buah bel listrik kecil danbesar yang harus dibuat agar mendapatuang sebanyak-banyaknya? Berapa uangyang diperoleh?4.Seorang pemborong pengecatan rumahmempunyai persediaan 80 kaleng catputih dan 60 kaleng abu-abu.Pemborong tersebut mendapat tawaranmengecat ruang tamu dan ruang tidur.Setelah dihitung ternyata 1 ruang tamumenghabiskan 2 kaleng cat putih dan1 kaleng cat abu-abu, sedangkan 1 ruangtidur menghabiskan cat masing-masingsebanyak 1 kaleng.a.Tulislah model matematikanya.b.Berapa banyak maksimum ruangtamu dan ruang tidur yang dapatdicat?5.Dari soal nomor 4, jika biaya untuk 1 ruangtamu Rp75.000,00 dan untuk 1 ruang tidurRp50.000,00. Tentukan banyaknya uangmaksimum yang diterima oleh pemborongitu.a.f(3, 1)d.f(2, 53)b.f(4, 1)e.f(4, 52)c.f(3, 2)a.Pb.Qc.Rd.Se.TKata BijakMemercayai diri sendiri adalah rahasia pertama untuk berhasil.Oleh karena itu, yakinkan diri Anda untuk percaya pada potensiAnda.